Kā atrisināt vienādojumus ar saknēm

Dažreiz vienādojumos ir saknes zīme. Daudziem studentiem šķiet, ka ir ļoti grūti atrisināt šādus vienādojumus “ar saknēm” vai, pareizāk sakot, neracionālus vienādojumus, bet tas tā nav.

Lietošanas instrukcija

1

Atšķirībā no citiem vienādojumu veidiem, piemēram, kvadrātu vai lineārajām vienādojumu sistēmām, nav standarta algoritma vienādojumu ar saknēm risināšanai vai, precīzāk sakot, neracionāliem vienādojumiem. Katrā konkrētā gadījumā ir jāizvēlas vispiemērotākā risinājuma metode, pamatojoties uz vienādojuma "izskatu" un pazīmēm.

Vienādojuma daļu paaugstināšana līdz tādai pašai pakāpei.

Visbiežāk, lai atrisinātu vienādojumus ar saknēm (iracionālie vienādojumi), tiek pielietota vienādojuma abu pušu paaugstināšana vienā un tajā pašā pakāpē. Parasti līdz pakāpei, kas vienāda ar saknes pakāpi (kvadrātā sakne kvadrātā, kubā kubiskā saknē). Jāpatur prātā, ka, paceļot vienādojuma kreiso un labo pusi līdz vienmērīgai pakāpei, viņam var būt “papildu” saknes. Tāpēc šajā gadījumā jāpārbauda iegūtās saknes, aizstājot tās vienādojumā. Īpaša uzmanība vienādojumu risināšanā ar kvadrātveida (vienmērīgām) saknēm jāpievērš mainīgā lieluma (ODZ) pieļaujamo vērtību diapazonam. Dažreiz vien ODL novērtēšana ir pietiekama, lai atrisinātu vai ievērojami vienkāršotu vienādojumu.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu:

√ (5x-16) = x-2

Mēs kvadrātā abas vienādojuma malas:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², no kurienes mēs secīgi iegūstam:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Atrisinot iegūto kvadrātvienādojumu, mēs atrodam tā saknes:

x = (9 ± √ (81–4 * 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Aizstājot abas atrastās saknes sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo vienādojumu. Tāpēc abi skaitļi ir vienādojuma risinājumi.

2

Metode jauna mainīgā ieviešanai.

Dažreiz ērtāk ir atrast “vienādojuma ar saknēm” (iracionāla vienādojuma) saknes, ieviešot jaunus mainīgos. Faktiski šīs metodes būtība ir vienkārši reducēta uz kompaktāku risinājumu, tā vietā, lai katru reizi rakstītu apjomīgu izteiksmi, to aizstāj ar leģendu.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: 2x + √x-3 = 0

Šo vienādojumu var atrisināt, sašaurinot abas puses. Tomēr paši aprēķini izskatīsies diezgan apgrūtinoši. Ieviešot jaunu mainīgo, lēmumu pieņemšanas process izrādīsies daudz elegantāks:

Mēs ieviešam jaunu mainīgo: y = √ x

Tad mēs iegūstam parasto kvadrātvienādojumu:

2y² + y-3 = 0, ar mainīgo y.

Atrisinot iegūto vienādojumu, mēs atrodam divas saknes:

y1 = 1 un y2 = -3 / 2, aizstājot atrastās saknes izteiksmē ar jauno mainīgo (y), iegūstam:

√ x = 1 un √ x = -3 / 2.

Tā kā kvadrātsaknes vērtība nevar būt negatīvs skaitlis (ja nepieskaraties sarežģīto skaitļu laukumam), mēs iegūstam vienīgo risinājumu:

x = 1.

kvadrātsaknes risinājums