Kā atrast apļveida segmenta laukumu

Viena no izplatītākajām ģeometriskajām problēmām ir aprēķināt apļveida segmenta laukumu - apļa daļu, ko ierobežo ar akordu, un atbilstošo apļa loka akordu.

Apļveida segmenta laukums ir vienāds ar starpību starp attiecīgā apļveida sektora laukumu un trijstūra laukumu, ko veido attiecīgā sektora segmenta rādiuss un akords, kas ierobežo segmentu.

1. piemērs

Apļa līkuma horda garums ir vienāds ar a vērtību. Akordam atbilstošās loka pakāpes izmērs ir 60 °. Atrodiet apļveida segmenta laukumu.

Risinājums

Trīsstūris, ko veido divi rādiusi un akords, ir vienādsānu, tāpēc augstums, kas novilkts no centrālā leņķa augšdaļas uz akorda izveidotā trīsstūra malu, būs arī centrālā leņķa bisektrise, uz pusi samazinot to un mediānu, uz pusi samazinot akordu. Zinot, ka leņķa sinuss taisnleņķa trīsstūrī ir vienāds ar pretējās puses un hipotenūzes attiecību, mēs varam aprēķināt rādiusu:

Grēks 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Sektora platību, kas atbilst noteiktajam leņķim, var aprēķināt pēc šādas formulas:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Nozarei atbilstošā trijstūra laukumu aprēķina šādi:

S ▲ = 1/2 * ah, kur h ir augstums, kas novilkts no centrālā leņķa augšdaļas līdz akordam. Pēc Pitagora teorēmas h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Attiecīgi S ▲ = √3 / 4 * a².

Segmenta laukums, kas aprēķināts kā Sseg = Sc - S ▲, ir vienāds ar:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Aizvietojot skaitlisku vērtību, nevis a, jūs varat viegli aprēķināt segmenta apgabala skaitlisko vērtību.

2. piemērs

Apļa rādiuss ir vienāds ar a. Segmentam atbilstošās loka pakāpes izmērs ir 60 °. Atrodiet apļveida segmenta laukumu.